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110分)設 是互不相同的整數,求證多項式

在整系數多項式環(huán)中不可約。

210 分) , 有重根的條件。

3 10分)記

的根。

410分)(1)設 ,  。 ;

            2)求 ,其中 。

515分)設 階方陣 的伴隨矩陣。證明:當 時(shí), ; 時(shí), ; 時(shí), 。

610分)設 階方陣, 為正整數,線(xiàn)性方程組 有解向量 。證明:向量組 線(xiàn)性無(wú)關(guān).

7(10)求下面向量組的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組表示:

。

810分)若下面線(xiàn)性方程組有解,常數應滿(mǎn)足什么條件?

915分)已知矩陣 

有特征值 ,矩陣 。其中 為實(shí)數, 為單位陣。

(1)    ,并說(shuō)明 是否可以對角化;

(2)    矩陣 是否可以對角化,若能,求對角矩陣 ,使 .

10(15)已知 均為三階非零矩陣,且

(1)    證明 的特征值只能是01;并且01必是 的特征值;

(2)    關(guān)于 的特征向量,則 必是矩陣 關(guān)于 的特征向量。

1115分)設

(1)    用正交變換化此二次型為標準型,并寫(xiě)出所有的正交變換;

(2)    是否有可逆矩陣 ,使得 。其中 是原二次型的矩陣。若有,求出它;若無(wú),說(shuō)明理由。

12  (20) 為有理數域上的三維向量空間, 的線(xiàn)性變換。若對 ,有 ,證明 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

 

數學(xué)分析

一、(20)設 上連續并且單調遞減,證明函數

上單調遞減。

二、(20)設 , ,證明極限 存在并求之。

三、(20)設 個(gè)正實(shí)數,求 。

四、(10)區間上的連續函數如果在任何有理點(diǎn)上為零,證明此函數恒為零。

五、(20)證明   。

六、(20)研究函數  的連續性及可微性。

七、(20)求正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) 使積分  最大,并求出最大值。

八、(每小題10分,共20

為平面上一個(gè)有界閉集,連續函數 一對一映為平面上點(diǎn)集 ,證明

(1)    也是有界閉集

(2)    的逆映射也是連續函數。

 

 

 

------------------鄭州大學(xué)2009年高等代數考研真題試卷

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