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重慶大學(xué)2003年碩士研究生入學(xué)考試試題

高等代數試卷

一、    填空題(36分)

1.設n階方陣A滿(mǎn)足 ,其中E是單位矩陣, ,則 _____________

2.設A、B均為n階方陣, , 為矩陣A的伴隨矩陣,則 ______

3.設 , ,則B = _____________________

4.設 ,其中 為任意3維實(shí)向量,則線(xiàn)性變換 下的矩陣表示為_________________________________

5.設A是可逆矩陣, A的一個(gè)特征值,則A的伴隨矩陣 一定有一個(gè)特征值為________

6.若方程 無(wú)解,則 ________;若此方程有惟一解,則 _______

7.設 ,則 ______________________

8.向量組 的秩等于__________,其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是________________

9.設 ,則向量y的長(cháng)度 ______________

10.設n階方陣A的秩 ,n階方陣B的秩 ,則 的解空間的維數等于___________________

二、    計算題(50分)

1.  n維向量 ,令 ,求對角矩陣 和可逆矩陣P使得

2.  5Euelid空間 的一組標準正交基, ,其中 ,求 的一組標準正交基

3.  ,求A的初等因子和Jordan標準矩陣

4.  n階方陣A滿(mǎn)足 ,且 ,證明A相似于對角陣,并求 的值

5.  n階方陣, ,求矩陣 的行列式值

三、    證明題(64分)

1.設 中的兩個(gè)非平凡子空間,證明:在 中存在向量 使得 ;并在 中舉例說(shuō)明此結論

2.設 n維線(xiàn)性空間 的一組基,對任意n個(gè)向量 ,證明:存在惟一的線(xiàn)性變換T使得

3.(1)設A、Bn階方陣,證明: 的充要條件是 的解均為 的解

2)設A、Bn階方陣, ,證明對于任意可以相乘的矩陣C均有

3)若有自然數k使得 ,則

4.設An階實(shí)對稱(chēng)方陣,

 1)若 ,則存在實(shí)(非負)整數r和可逆矩陣P使得

2)記 ,給出S 的字空間的充分必要條件,并證明你的結論

5.設實(shí)二次型 , A的特征值,證明存在非零向量 使得

6.設 是三個(gè)多項式,證明:

 

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